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Exercices

Exercice 2.1 (Loi de \(\overline{X}_n\)) Une population est composée de 3 salariés A, B et C âgés respectivement de 23, 37 et 45 ans.

On choisit au hasard un salarié.

  1. Définir l’expérience aléatoire \(\varepsilon\), la population \(\Omega\), la probabilité \(P\) et la variable aléatoire \(X\) étudiée.

  2. Calculer \(E(X)=m\) et \(V(X)=\sigma^2\). Que représentent \(E(X)\) et \(V(X)\)?

On choisit maintenant au hasard un échantillon de 2 salariés.

  1. Définir la nouvelle expérience aléatoire \(\varepsilon_n\), l’ensemble des échantillons \(E_n\) et les variables aléatoires \(X_i, i=1,\ldots,n\).
  2. Définir la variable aléatoire \(\overline{X}_n\) et déterminer sa loi.
  3. Calculer \(E(\overline{X}_n)\) et \(V(\overline{X}_n)\). Retrouver les formules du cours.

Exercice 2.2 (Loi de \(P_n\)) Une population est composée de 3 individus A, B et C dont les résultats de vote pour un certain candidat sont respectivement les suivants: Non, Non et Oui.

On choisit au hasard un individu.

  1. Définir l’expérience aléatoire \(\varepsilon\), la population \(\Omega\), la probabilité \(P\) et la variable aléatoire \(X\) étudiée.

  2. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\). Que représente \(E(X)\)?

On choisit maintenant au hasard un échantillon de 2 individus.

  1. Définir la nouvelle expérience aléatoire \(\varepsilon_n\), l’ensemble des échantillons \(E_n\) et les variables aléatoires \(X_i, i=1,\ldots,n\).
  2. Définir la variable aléatoire \(P_n\) et déterminer sa loi.
  3. Calculer \(E(P_n)\) et \(V(P_n)\). Retrouver les formules du cours.

Exercice 2.3 Est ce qu’il s’agit d’une variable aléatoire?

  1. Moyenne de la population.
  2. Taille de la population.
  3. Taille de l’échantillon.
  4. Moyenne de l’échantillon.
  5. Variance de la moyenne de l’échantillon.
  6. Plus grande valeur de l’échantillon.
  7. Variance de la population.
  8. Variance estimée de la moyenne de l’échantillon.

Exercice 2.4 (Théorème Central Limite) Devant l’augmentation des problèmes de poids dans la population européenne, une nouvelle étude est mandatée pour mesurer la relation entre celui-ci et la quantité de calories ingérées par habitant. Des études antérieures montrent qu’un Européen consomme en moyenne \(2700\) calories par jour avec un écart-type de \(800\). On dispose dans cette étude d’un échantillon de \(500\) Européens.

  1. Définir les variables aléatoires étudiées dans l’énoncé. On les nomme \(X_i\) et \(\overline{X}_n\).
  2. Utiliser le TCL pour donner la distribution de la v.a. \(\overline{X}_n\).
  3. Calculer la probabilité que la moyenne des calories consommées par jour par les Européens, qu’on a nommé \(\overline{X}_n\), dans l’échantillon soit supérieure à \(2750\).

Exercice 2.5 Afin d’estimer leur espérance respective, on échantillonne 2 populations. On utilise un échantillon de taille \(n_{1}\) pour la population 1, qui présente un écart-type égal à \(\sigma_{1}\). Pour la population 2, dont l’écart-type vaut \(\sigma_{2}=2\sigma_{1}\), on prend un échantillon de taille \(n_{2}=2 n_{1}\).

Pour lequel des 2 échantillons est-ce que l’estimation de la moyenne de la population est la plus précise?
Exercice 2.6 Dans une certaine commune française, on veut estimer la proportion de familles vivant en dessous du seuil de pauvreté. Si cette proportion est environ \(0.15\), quelle est la taille de l’échantillon nécessaire pour que l’écart-type de l’estimateur soit égal à \(0.02\)?

Extra

Exercice 2.7 (Théorème Central Limite) Rémy et ses 9 amis voudraient jouer au bowling. Ils décident de rassembler leur argent de poche et espèrent obtenir la somme totale nécessaire. On peut supposer que l’argent de poche de chacun est une variable aléatoire \(X_i\) qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda=0.06\). Sa densité est donc \[ f(x)=0.06 e^{-0.06 x} \times 1_{\mathbb{R}^+}(x) \]

De plus, on admet que les \(X_i\) sont indépendantes.

  1. Démontrer que la loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) est un cas exceptionnel de la loi Gamma en donnant les paramètres de celle-ci. (un rappel de la définition de la loi Gamma est donnée ci dessous).
  2. Soit \(S_{10}=\sum_{i=1}^{10} X_{i}\) Quelle est la loi de \(S_{10}\)?
  3. Sachant qu’une partie de bowling coûte \(15 €\), quelle est la probabilité que Rémy et ses amis puissent jouer une partie? (Indication: Appliquer le TCL pour \(S_{10}= \sum_{i=1}^n X_i = n \times \overline{X}_n\))
  4. Comment faut-il choisir \(z>0\) pour que la probabilité que la somme totale d’argent du groupe soit supérieure à \(z\) soit égale à \(5 \%\)?

Loi Gamma \(\Gamma(a,\lambda)\)

On dit que la variable aléatoire \(X\) suit une loi Gamma de paramètres \(a>0\) et \(\lambda>0\), \(X \thicksim \Gamma(a,\lambda)\) si \(X\) a la densité: \[\forall \, x \in \mathbb{R}, \quad f_{a,\lambda} (x)= \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-\lambda x} \times {1}_{\mathbb{R}_{+}}(x)\]

  • La fonction Gamma est définie sur \(\mathbb{R}_{+}^*\) par: \(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt\).
  • Propriétés de la fonction Gamma:
    • \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \quad \forall \, x >0\)
    • \(\Gamma(n+1) = n! \quad \forall n \in \mathbb{N}\)
    • \(\Gamma(1) = 1\) et \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)
  • Propriétés de la loi Gamma:
    • \(E(X)= \frac{a}{\lambda}\) et \(V(X)= \frac{a}{\lambda^2}\).
    • Si \((X_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite de variables aléatoires indépendantes de lois \(\Gamma(a_n,\lambda)\) alors la variable aléatoire somme \(\sum_{n=1}^N X_n\) suit également une loi gamma \(\Gamma(\sum_{n=1}^N a_n, \lambda)\).