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Exercices

Exercice 4.1 Pour une population de loi normale de variance \(\sigma^2\) connue, répondre aux questions suivantes:

  1. Quel est le niveau de confiance pour l’intervalle \(\overline{x} - 2.14 \sigma/\sqrt{n} \leq \mu \leq \overline{x} + 2.14 \sigma/\sqrt{n}\) ?
  2. Quel est le niveau de confiance pour l’intervalle \(\overline{x} - 1.85 \sigma/\sqrt{n} \leq \mu \leq \overline{x} + 1.85 \sigma/\sqrt{n}\) ?
  3. Quel est le niveau de confiance pour l’intervalle \(\mu \leq \overline{x} + 1.96 \sigma/\sqrt{n}\) ?

Exercice 4.2 Nous souhaitons estimer un intervalle de confiance du gain d’un circuit électronique7. On admet que le gain est distribué selon une loi normale d’espérance inconnue \(m\) et d’écart type \(\sigma = 20\).

  1. Décrire l’expérience aléatoire, l’univers et la variable aléatoire \(X\).

  2. Soit \(n\) la taille de l’échantillon et \(\alpha\) l’erreur. Donner l’expression de l’intervalle de confiance de \(m\) en fonction de \(n\), \(\sigma\) et \(\alpha\).

  3. Comment doit varier la longueur de l’intervalle de confiance en fonction de la taille d’échantillon et le niveau de confiance?

  4. Confirmer votre réponse en donnant l’intervalle de confiance de \(m\) selon les cas suivants:

    • IC à 95% où \(n=10\) et \(\hat{m} = 1000\).
    • IC à 95% où \(n=25\) et \(\hat{m} = 1000\).
    • IC à 99% où \(n=10\) et \(\hat{m} = 1000\).
    • IC à 99% où \(n=25\) et \(\hat{m} = 1000\).
  5. Quelle doit être la taille de l’échantillon \(n\) pour que la longueur de l’intervalle de confiance à \(95\%\) soit \(4\)?

Exercice 4.3 Le poids de paquets de poudre de lessive, à l’issue de l’empaquetage, est supposé suivre une loi normale \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2 )\) dont l’écart-type \(\sigma\) est supposé connu et égal à \(5 g\). \(\sigma\) représente la variabilité du poids due à l’imprécision de la machine. Le poids marqué sur les paquets est de \(710 g\). Toutes les heures, \(10\) paquets sont prélevés au hasard et pesés. On obtient pour une heure donnée, pour un échantillon de \(10\) paquets un poids moyen de \(707g\).

  1. Donner un estimateur puis une estimation du poids moyen des paquets de lessive.
  2. Donner un intervalle de confiance à \(95\%\), puis à \(99\%\) pour le poids moyen des paquets de lessive
  3. Déterminer \(\alpha\) (à l’unité près) pour qu’au seuil de risque \(\alpha \%\) un intervalle de confiance du poids moyen des paquets de lessive soit \([705g;709g]\).
Exercice 4.4 Dans la population française, le pourcentage d’individus dont le sang est de rhésus négatif est de \(15\%\). Dans un échantillon représentatif de \(200\) Basques français on observe que \(44\) personnes sont de rhésus négatif. Donner un intervalle de confiance à \(99\%\) de la proportion de Basques français ayant un rhésus négatif.

Exercice 4.5 Le Bureau de météorologie du gouvernement australien a fourni les précipitations annuelles moyennes (en millimètres) en Australie entre 1983 et 2002 comme suit8

499.2 555.2 398.8 391.9 453.4 459.8 483.7 417.6 469.2 452.4
499.3 340.6 522.8 469.9 527.2 565.5 584.1 727.3 558.6 338.6

Supposant que les précipitations annuelles moyennes suivent une loi normale de paramètres inconnus9. Construire un intervalle de confiance \(95\%\) pour la moyenne annuelle de précipitations.

Exercice 4.6 Le pourcentage de titane dans un alliage utilisé en aéronautique est mesuré sur \(51\) pièces sélectionnées de manière aléatoire. Ce pourcentage suit une distribution normale de paramètres inconnus. L’écart type (corrigé) de l’échantillon est \(s = 0.37\). Construire un intervalle de confiance bilatéral à \(95\%\) pour \(\sigma\).

Exercice 4.7 Les ampoules électriques d’un fabricant A ont une durée de vie normalement distribuée et de moyenne \(\mu_1\) avec un écart-type \(\sigma_1 = 200h\) et celles d’un fabricant B ont une durée de vie normalement distribuée et de moyenne \(\mu_2\) avec un écart-type \(\sigma_2 = 100h\).

Un échantillon de \(150\) ampoules de A a donné une durée de vie moyenne de \(1400h\). Un échantillon de \(100\) ampoules B a donné une durée de vie moyenne de \(1200h\). Déterminer un intervalle de confiance à \(95\%\) puis à \(99 \%\) de la différence des durées de vie moyenne des variétés A et B.

  1. En électronique, le gain désigne la capacité d’un circuit électronique à augmenter la puissance ou l’amplitude d’un signal. (source: Wikipedia).↩︎

  2. Lien↩︎

  3. On peut vérifier cette assomption, càd la normalité de données avec la figure connue sous le nom Droite de Henry ou QQ-plot. On pourra la tracer dans R avec la fonction qqnorm()↩︎