Appendix B — Examens
B.1 CE 2022-2023
Soit \(A\) et \(B\) deux événements tels que \(P(A) = 0.2\) et \(P(B) = 0.3\). Calculer la probabilité que l’un des deux événements \(A\) et \(B\) se produit lorsque
\(A\) et \(B\) sont incompatibles.
\(A\) et \(B\) sont indépendants.
On a \(P(A \cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) or, puisque \(A\) et \(B\) sont incompatibles,\(A\cap B = \emptyset\) et \(P(A\cap B)=0\) donc \(\boxed{P(A \cup B)= P(A)+P(B)=0.5}.\)
De même, puisque \(A\) et \(B\) sont indépendants, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) donc \(\boxed{P(A \cup B)= P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.44}.\)
Une urne contient une boule qui porte le numéro -1, deux qui portent le numéro 0 et deux qui portent le numéro 4. On extrait simultanément deux boules dans cette urne.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) qui représente la somme des nombres obtenus.
Calculer \(E(X)\).
Dans cette expérience, l’ensemble des résultats possibles (l’univers) est \(X(\Omega)=\{-1,0,3,4,8\}\).
On a \[\begin{aligned} P(X=-1)&=P(-1 \text{ et } 0)=\dfrac{C^1_1 \times C^1_2}{C^2_5}=\dfrac{2}{10}\\[0.3em] P(X=0)&=P(0 \text{ et } 0)=\dfrac{C^2_2}{C^2_5}=\dfrac{1}{10}\\[0.3em] P(X=3)&=P(-1 \text{ et } 4)=\dfrac{C^1_1\times C^1_2}{C^2_5}=\dfrac{2}{10}\\[0.3em] P(X=4)&=P(0 \text{ et } 4)=\dfrac{C^1_2\times C^1_2}{C^2_5}=\dfrac{4}{10}\\[0.3em] P(X=8)&=P(4 \text{ et } 4)=\dfrac{C^2_2}{C^2_5}=\dfrac{1}{10}\\[0.3em] \end{aligned}\] Et on vérifie bien que la somme des probabilités est égale à 1.Par définition, on a \[\boxed{E(X)=\sum_{x_i} x_i P(X=x_i)=-P(X=-1)+3P(X=3)+4P(X=4)+8P(X=8)=2.8}\]
Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires dont la probabilité conjointe est donnée par le tableau suivant:
| \(X\)\\(Y\) | -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1/9 | 2/9 | 1/9 |
| 1 | 1/9 | 2/9 | 1/9 |
| 2 | 0 | 1/9 | 0 |
Calculer les lois marginales de \(X\) et \(Y\).
Calculer la probabilité que \(Y\) soit poisitive ou nulle sachant que \(X\) vaut 0.
Calculer la covariance de \(X\) et \(Y\).
\(X\) et \(Y\) sont elles indépendantes ?
Pour calculer la loi marginale de \(X\), on utilise le fait que \[\begin{aligned} P(X={x_i})&=\sum_{y_i} P(x={x_i}, Y={y_i})\\ &=P(X={x_i},Y=-1)+ P(X={x_i},Y=0)+P(X={x_i},Y=1) \end{aligned}\]
Cela donne \[\begin{array}{|c|ccc|} \hline X & 0 & 1 & 2\\ \hline P(X=x) & 4/9 & 4/9 & 1/9\\ \hline \end{array}\] De même, pour la loi marginale de \(Y\), on trouve: \[\begin{array}{|c|ccc|} \hline Y & -1 & 0 & 1\\ \hline P(Y=y) & 2/9 & 5/9 & 2/9\\ \hline \end{array}\] (et on vérifie que la somme des probabilités est égale à 1).
On a \[\begin{aligned} P(Y\geq 0 \:\big|\: X=0) &=\dfrac{P(Y\geq0 \text{ et } X=0)}{P(X=0)}\\[0.3em] &=\dfrac{P(Y=0 \text{ et } X=0)+P(Y=1 \text{ et } X=0)}{P(X=0)}. \end{aligned}\] Donc \(\boxed{P(Y\geq 0 \:\big|\: X=0)=\dfrac{3}{4}}.\)
Par définition, on a \(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\), or \[\begin{aligned} E(XY)&=\sum_{x_i}\sum_{y_i} {x_i}{y_i}P(X={x_i},Y={y_i})=0,\\ E(Y)&=-P(Y=-1)+P(Y=1)=0 \end{aligned}\] donc \(\boxed{Cov(X,Y)=0}.\)
Attention! \(X\) et \(Y\) sont indépendantes \(\implies Cov(X,Y) = 0\). Ceci est équivalent à \(Cov(X,Y)\neq 0 \implies X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes. La réciproque n’est pas toujours vraie! Nous ne pouvons donc rien conclure de la question précédente.
Pour savoir si \(X\) et \(Y\) indépendantes, il faut repartir de la définition: \(X\) et \(Y\) indépendantes si et seulement si pour toutes valeurs de \(X\) et \(Y\) on a \[P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y).\] Or ici on remarque (par exemple) que \[P(X=0,Y=-1)=\frac{1}{9}\neq P(X=0)P(Y=-1)=\frac{8}{81}.\] Donc \(\boxed{X\text{ et } Y \text{ ne sont pas indépendantes}}\).
Une boîte contient trois transistors, que l’on désigne par \(A\),\(B\) et \(C\). Le transistor \(A\) a été fabriqué par une machine qui produit \(3\%\) de défectueux, le transistor \(B\) par une machine qui produit \(5\%\) de défectueux, et le transistor \(C\) par une machine qui produit \(7\%\) de défectueux.
Soit \(p\) la probabilité qu’un transistor pris au hasard dans la boîte soit défectueux. Montrer que \(p=0.05\).
Dix transistors sont pris au hasard (avec remise) dans la boîte. Soit \(N\) le nombre de transistors défectueux obtenus. Quelle est la loi de \(N\)? (La réponse doit être justifiée et détaillée).
Calculer \(P(N=0)\).
Quelle est l’espérance mathématique de \(N\).
On note \(A,B,C\) les événements “le transistor pris au hasard est le transistor \(A\)” (respectivement, \(B\), \(C\)). On note \(D\) l’évenement “le transistor est défectueux”. \(A,B\) et \(C\) forment une partition sur \(\Omega\). On a \[\begin{aligned} P(D) &=P(D \cap A) + P(D \cap B) + P(D \cap C) \text{ (formule de probabilités totales)}\\[0.3em] &=P(D\big|A)P(A)+P(D\big|B)P(B)+P(D\big|C)P(C) \end{aligned}\] Cela donne \(\boxed{p=\dfrac{3+5+7}{300}=\dfrac{5}{100}}\)
Nous faisons face à une expérience de Bernouilli (deux résultats possibles) avec répétitions indépendantes (car il y a remise). La variable aléatoire \(N\) compte le nombre de transistors défectueux. Elle suit donc une loi binomiale avec \(n=10\) et \(p=0.05\): \[\boxed{N \sim \mathcal{B}(10,0.05)}.\] (Autrement dit \(P(N=k)=C^k_n p^k (1-p)^{n-k} \quad for \quad k \in \{0, \ldots , 10\}\).)
Application directe de la formule de la loi binomiale: \[\boxed{P(N=0)=0.95^{10} \simeq 0.60}.\]
Nous avons vu dans le cours que, pour une variable \(N\) qui suit une loi binomiale, on a \(\boxed{E(N)=np=0.5}\).
B.2 DE 2022-2023
