Feuille d’exercices 2

Variables alétoires continues

Exercice 1 Soit \(X\) une v.a.c. de densité \(f\) définie par: \(f(x) = k x \times {1}_{]0,2[} (x)\).

  1. Déterminer la constante \(k\).

  2. Calculer \(E(X)\) et \(E(X^2)\).

  3. On pose \(Z=X^2\). Déterminer la densité de \(Z\). Calculer \(E(Z)\).

Exercice 2 Soit \(X\) une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par:

\[f(x)= \left\lbrace \begin{array}{ll} c(1-x^2) & \mbox{si} \quad -1<x<1\\ 0 & \mbox{sinon} \end{array} \right. \]

  1. Quelle est la valeur de \(c\)?

  2. Quelle est la fonction de répartition de \(X\)?

Exercice 3 Soit \(X\) une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par:

\[ f(x)= \left\lbrace \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si} \quad |x| > k > 0\\ x+1 & \mbox{si} \quad |x| \le k \end{array} \right. \]

  1. Déterminer \(k\).

  2. Calculer \(E(X)\) et \(E(X^2)\).

  3. Déterminer la fonction de répartition de \(X\).

  4. Soit \(Y=X^2\). Déterminer la fonction de répartition ainsi que la fonction de densité de \(Y\).

  5. Calculer \(E(Y)\).

Exercice 4 (Variable aléatoire de densité paire) Soit \(X\) une variable aléatoire réelle admettant une fonction paire \(f\) pour densité.

  1. Calculer \(P(X \le 0)\) et \(P(X\ge 0)\).

  2. Montrer que la fonction de répartition \(F\) de \(X\) vérifie: \(\forall \, x \in \mathbb{R}, F(x)=1-F(-x)\).

  3. On admet que \(X\) admet une espérance, calculer \(E(X)\).

  4. Donner un exemple de densité paire.

Exercice 5 (Loi de Laplace) Soit \(c > 0\), une constante réelle. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par:

\[ \forall \, x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{c}{2} e^{- c |x|}\]

  1. Montrer que \(f\) est une densité.
  2. Déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X\).
  3. On admet que \(X\) admet une espérance. Calculer \(E(X)\).
  4. Déterminer la loi de \(Y=|X|\).

Exercice 6 (Lois des v.a.r. min(X,Y) et max(X,Y)) Soit \(X\) et \(Y\) deux v.a.c de densités respectives \(f_X\) et \(f_Y\) et de fonctions de répartition respectives \(F_X\) et \(F_Y\). On suppose que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes. On pose:

\[Z = max(X,Y) \quad \quad \text{et} \quad \quad T=min(X,Y)\]

  1. Exprimer les fonctions de répartition de \(Z\) et \(T\) à l’aide des fonctions de répartition \(F_X\) et \(F_Y\).

  2. Exprimer une densité de \(Z\) et une densité de \(T\) à l’aide de \(f_X, f_Y, F_X\) et \(F_Y\).

Exercice 7 (Minimum et Maximum de deux lois exponentielles) Soit \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle de paramètres \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\). On pose \(X = min(X_1,X_2)\).

  1. Montrer que \(X\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda_1 + \lambda_2\).

  2. Deux guichets sont ouverts à une banque. Le temps de service au premier guichet (resp. au deuxième) suit une loi exponentielle de moyenne 20 min (resp. 30 min). Deux client rentrent simultanément, l’un choisit le guicher 1 et l’autre le guichet 2.

    1. En moyenne, après combien de temps sort le premier?

    2. En moyenne, après combien de temps sort le dernier?

Indication: On pourra utiliser la relation \(X_1 + X_2 = min(X_1,X_2) + max(X_1,X_2)\). La somme de deux nombres réels est égale à la somme de leur minimum et de leur maximum.

Exercice 8 (Fonction Gamma (Euler)) La fonction Gamma est définie sur \(\mathbb{R}_{+}^*\) par:

\[\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt\]

  1. Montrer que \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\), \(\forall \, x >0\).

  2. Exprimer \(\Gamma(x+n)\) en fonction de \(\Gamma(x)\) pour \(n\in \mathbb{N}\).

  3. Calculer \(\Gamma(1)\). En déduire \(\Gamma(n+1)\) pour \(n\in \mathbb{N}\).

  4. En utilisant le changement de variable \(t=u^2\), montrer qu’on a: \[\Gamma(x)=2 \int_0^{+\infty} u^{2x-1}e^{-u^2} du\]

  5. On suppose que: \[\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\] Calculer alor \(\Gamma(\frac{1}{2})\).

Exercice 9 (Loi Gamma) Pour \(a>0\) et \(\lambda>0\), deux constantes réelles, on définit la fonction \(f_{a,\lambda}\) sur \(\mathbb{R}\) par: \[\forall \, x \in \mathbb{R}, \quad f_{a,\lambda} (x)= \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-\lambda x} \times {1}_{\mathbb{R}_{+}}(x)\]

  1. Montrer que \(f_{a,\lambda}\) est bien une densité d’une v.a. \(X\).

  2. Calculer \(E(X)\).

Exercice 10 (Loi uniforme et loi exponentielle) Soit \(U\) une v.a.c de loi unifrorme sur \([0,1]\). Montrer que la v.a. \(X= - \ln U\) suit une loi exponentielle.

Loi Normale (Loi Gaussienne)

Exercice 11 On note \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

  1. Soit \(X\) une v.a. qui suit une loi normale centrée réduite, i.e. \(X \thicksim \mathcal{N}(0,1)\). A l’aide de la table de la loi normale, calculer: \(P(X>2), P(-1<X<1.5)\) et \(P(X<0.5)\).

  2. Soit \(Y\) une v.a. qui suite une loi normale: \(Y \thicksim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)=\mathcal{N}(4,16)\). Calculer: \(P(Y>2), P(-1<Y<1.5)\) et \(P(Y<0.5)\).

  3. Soit \(U \thicksim \mathcal{N}(6,4)\). Calculer: \(P(|U-4|<3)\) et \(P( U>6 | U > 3)\).

Exercice 12 Une machine produit des pièces dont le diamètre \(X\) (en cm) est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2 = (0.01)^2\). Quelle devrait être la valeur de \(\mu\) de sorte que la probabilité qu’une pièce prise au hasard ait un diamètre supérieur à 3 cm, soit inférieure à 0.01?

Exercice 13 On envisage de construire à l’entrée d’une caserne une guérite dans laquelle pourra s’abriter la sentinelle en cas d’intempéries. Les sentinelles sont des appelés dont la taille est approximativement distribuée selon une loi normale d’espérance 175cm et d’écart-type 7cm. A quelle hauteur minimale doit se trouver le toit de la guérite, pour qu’un sentinelle pris au hasard ait une probabilité supérieure à 0.95 de s’y tenir debout?

Exercice 14 Exprimer les intégrales suivantes à l’aide de la fonction de répartition \(\Phi\) de la loi normale centrée réduite, puis en calculer des valeurs approchées à \(10^{-4}\) près:

  1. \(A=\int_0^1 e^{-\frac{x^2}{2}} dx\)
  2. \(B=\int_0^2 e^{-2x^2+4x-2} dx\)