Feuille d’exercices 1

Combinatoire

Exercice 1 Questions diverses:

En informatique, on utilise le système binaire pour coder les caractères. Un bit (binary digit : chiffre binaire) est un élément qui prend la valeur 0 ou la valeur 1. Avec 8 chiffres binaires (un octet), combien de caractères peut-on coder?

A l’occasion d’une compétition sportive groupant 18 athlètes, on attribue une médaille d’or, une d’argent, une de bronze. Combien y-a-t-il de distributions possibles (avant la compétition, bien sûr…) ?

Un tournoi sportif compte 8 équipes engagées. Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une seule fois. Combien doit-on organiser de matchs ?

Exercice 2 On jette un dé 🎲 équilibré 3 fois de suite, et on s’intéresse au total des points obtenus. De combien de façons peut-on obtenir:

un total égale à 16.
un total égale à 15.
un total au moins égale à 15.

Exercice 3 Dans une entreprise, on compte 12 célibataires parmi les 30 employés. On désire faire un sondage : pour cela on choisit un échantillon de quatre personnes dans ce service.

Quel est le nombre d’échantillons différents possibles ?
Quel est le nombre d’échantillons ne contenant aucun célibataire ?
Quel est le nombre d’échantillons contenant au moins un célibataire ?

Exercice 4 On tire simultanément 5 cartes d’un jeu de 52 cartes.

Combien de tirages différents peut-on obtenir?
Combien de tirages peut-on obtenir ? contenant:
1. 5 carreaux ou 5 coeurs;
2. 2 coeurs et 3 piques;
3. au moins 1 roi;
4. au plus 1 roi.

Événements

Exercice 5 Soit $A$,$B$ et $C$ trois événements d’un espace probabilisable $(\Omega,\mathcal{A})$. Exprimer en fonction de $A$,$B$ et $C$ et des opérations ensemblistes (réunion, intersection et complémentaire) les événements ci-après:

$A$ seul (parmi les 3 événements) se produit.
$A$ et $C$ se produisent, mais non $B$.
Les trois événements se produisent.
L’un au moins des 3 événements se produit.
Aucun des trois événements ne se produit.

Probabilité

Exercice 6 Soit les événements $A$ et $B$ t.q. $P(A) = x, P(B) = y$ et $P(A \cup B) = z$. Trouver les probabilités suivantes: $P(A \cap B), P(\bar{A} \cup \bar{B})$, et $P(A \cap \bar{B})$.

Exercice 7 Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé. Soient $A$,$B$ et $C$ trois événements quelconques. On pose : $E = A \cap \bar{B} \cap \bar{C}$ et $F = A \cap (B \cup C)$.

Montrer que $E$ et $F$ sont incompatibles.
Montrer que $E \cup F = A$.
Sachant que $P(A)=0.6; \, P(A\cap B)=0.2; \, P(A\cap C)=0.1$ et $P(A\cap B \cap C)=0.05$: Calculer $P(F)$ et $P(E)$.

Exercice 8

Une urne contient 13 boules dont 6 noires, 3 blanches et 4 rouges. On pioche 4 boules. On pose

E: « obtenir exactement 2 blanches »
F: « obtenir exactement 2 rouges »

On suppose qu’ il n’ y a pas remise. Calculer les probabilités suivantes : $P(E \cap F), P_F (E), P_E(F)$. Les évènements E et F sont-ils indépendants?
Recommencer l’ exercice en supposant que l’on pioche avec remise.

Exercice 9 Une urne contient dix boules (6 blanches et 4 rouges). On tire au hasard et successivement deux boules de cette urne. Calculer, dans le cas où le tirage est effectué sans remise, puis dans le cas où le tirage est effectué avec remise, les probabilités suivantes:

probabilité pour que les deux boules soient blanches.
probabilité pour que les deux boules soient de même couleur.
probabilité pour que l’une au moins des boules tirées soit blanche.

Bayes

Exercice 10

Un nouveau vaccin a été testé sur 12500 personnes. 75 d’entre elles, dont 35 femmes enceintes, ont eu des réactions secondaires nécessitant une hospitalisation.

Sachant que ce vaccin a été administré à 680 femmes enceintes, quelle est la probabilité qu’une femme enceinte ait eu une réaction secondaire si elle reçoit le vaccin?
Quelle est la probabilité qu’une personne non enceinte ait une réaction secondaire?
Une personne a présenté des réactions secondaires, quelle est la probabilité qu’il s’agit d’une femme enceinte?

Exercice 11

Pour se rendre au lycée, un élève a le choix entre 4 itinéraires: A, B, C et D. La probabilité qu’il a de choisir A (respectivement B, C) est $\frac{1}{3}$ (respectivement $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{12}$). La probabilité d’arriver en retard en empruntant A (respectivement B, C) est $\frac{1}{20}$ (respectivement $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{5}$). En empruntant D, il n’est jamais en retard.

Quelle est la probabilité que l’élève choisisse l’itinéraire D?
L’élève arrive en retard. Quelle est la probabilité qu’il ait emprunté l’itinéraire C?

Variables aléatoires discrètes

Exercice 12 Soit $X$ une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l’ensemble $\{- 4, 2, 3, 4, 6, 7, 10\}$ et dont la distribution est donnée par:

$x_i$	-4	2	3	4	6	7	10
$P(X=x_i)$	0.1	0.2	0.2	0.1	0.05	0.2	$k$

Calculer $k$.
Représenter graphiquement la loi de $X$.
Calculer les probabilités suivantes:

$P(X >3)$
$P(X \geq 3)$
$P(3 \leq X \leq 7)$
$P(3 < X < 9)$
$P(X+2 > 3)$
$P(X^2 > 4)$

Exercice 13 On choisit deux boules au hasard dans une urne contenant 8 boules blanches, 4 boules noires et 2 boules oranges. Supposons que l’on reçoive 2 euros pour chaque boule noire tirée et que l’on perde 1 euro pour chaque boule blanche tirée. Désignons les gains nets par $X$.

Quelles sont les valeurs possibles pour $X$ et les probabilités associées à ces valeurs ?
Quelle est l’espérance de $X$ ?

Exercice 14 Une urne contient une boule qui porte le numéro 0, deux qui portent le numéro 1 et quatre qui portent le numéro 3. On extrait simultanément deux boules dans cette urne.

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui représente la somme des nombres obtenus.
Déterminer la fonction de répartition de $X$.
Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.

Exercice 15 Soit $X$ une v.a. qui suit la loi uniforme (e.g. équiprobabilité de valeurs de $X$) sur l’ensemble $X(\Omega) = \{-3, -2, 1, 4\}$.

Donner la loi de $X$.
Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

On définit la variable aléatoire $Y=(X+1)^2$.
Donner $Y(\Omega)$ et la loi de $Y$.
Calculer $E(Y)$ de deux façons différents.

Exercice 16 Soit la fonction de répartition $F$ de la variable aléatoire $X$ définie par:

\[F(x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \quad \text{si $x<0$}\\ 1/4 & \quad \text{si $0 \leq x < 1$}\\ 1/2 & \quad \text{si $1 \leq x < 4$}\\ c & \quad \text{si $x \geq 4$}\\ \end{array} \right.\]

Déterminer en justifiant la constante $c$.
Calculer $P (1 \leq X < 5)$.
Calculer $P(X=1)+P(X=2)$.
Déteminer la loi de probabilité de $X$.

Exercice 17 Soient X et Y des variables aléatoires discrètes dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant:

$X$\$Y$	-1	0	2	5
0	0.10	0.05	0.15	0.05
1	0.15	0.20	0.25	0.05

Quelle est la loi marginale de X ?
Quelle est la loi marginale de Y ?
Calculer $P(Y \geq 0 / X = 1)$.
Calculer $E(X)$, $E(Y)$, et $cov(X,Y)$.
Les variables $X$ et $Y$ sont elles indépendantes ?

Exercice 18 Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}^2$ tel que

\[\forall (p,q) \in \mathbb{N}^2, \quad P(X=p,Y=q) = \lambda \frac{p+q}{p! q! 2^{p+q}}\]

Déterminer $\lambda$.
Calculer les lois marginales.
Les variables $X$ et $Y$ sont elles indépendantes ?

Lois usuelles discrètes

Exercice 19 Une urne contient 2 boules de numéro 20, 4 boules de numéro 10 et 4 boules de numéro 5.

Une épreuve consiste à tirer simultanément 3 boules de l’urne. Calculer la probabilité $p$ que la somme des numéros tirés soit égale à 30.
On répéte cette épreuve 4 fois en remettant à chaque fois les trois boules tirés dans l’urne. Soit $X$ la v.a. indiquant le nombre de tirages donnant une somme de numéros égale à 30.
1. Quelle la loi de $X$. Donner son espérance et son écart-type.
2. Déterminer la probabilité d’avoir au moins une fois la somme 30 dans les 4 tirages.

Exercice 20 Vous avez besoin d’une personne pour vous aider à déménager. Quand vous téléphonez à un ami, il y a une chance sur quatre qu’il accepte. Soit $X$ la variable aléatoire qui représente le nombre d’amis que vous devrez contacter pour obtenir cette aide.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer $P(X\leq 3)$.
Calculer $E(X)$.

Exercice 21 Pour être sélectionné aux jeux olympiques, un athlète doit réussir deux fois à dépasser les minima fixés par sa fédération. Il a une chance sur trois de réussir à chaque épreuve à laquelle il participe. On note $X$ la variable aléatoire qui représente le nombre d’épreuves auxquelles il devra participer pour être sélectionné.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Si cet athlète ne peut participer qu’à quatre épreuves maximum, quelle est la probabilité qu’il soit sélectionné ?

Exercice 22 Un sac contient cinq jetons : deux sont numérotés 1 et les trois autres sont numérotés 2. On effectue une série illimitée de tirages avec remise d’un jeton dans le sac S. On désigne par $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués avant le tirage amenant un jeton numéroté 1 pour la première fois.

1. Justifier que la variable aléatoire $Z=Y+1$ suit une loi usuelle que l’on précisera.
2. En déduire la loi de probabilité de $Y$.
1. Préciser l’espérance mathématique et la variance de $Z$.
2. En déduire l’espérance mathématique et la variance de $Y$.

Exercice 23 Le nombre de pannes d’électricité qui se produisent dans une certaine région au cours d’une période d’un an suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda=3$.

Calculer la probabilité qu’au cours d’une période d’un an il y a exactement une panne qui se produit.
En supposant l’indépendance des pannes d’une année à l’autre, calculer la probabilité qu’au cours des dix prochaines années il y ait au moins une année pendant laquelle il se produira exactement une panne.

Exercice 24 Un poste de radio a 2 types de pannes: transistor ou condensateur. Durant la première année d’utilisation, on désigne par:

$X=$ nombre de pannes dues à une défaillance de transistor.
$Y=$ nombre de pannes dues à une défaillance de condensateur.

On suppose que $X$ et $Y$ sont des v.a. indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectives $\lambda=2$ et $\mu=1$.

Calculer la probabilité qu’il y ait 2 pannes dues à une défaillance de transistor.
Calculer la probabilité qu’il y ait au moins une panne due à une défaillance de condensateur.
1. Quelle est la loi du nombre $Z=X+Y$ de pannes durant la première année ?
2. Déterminer la probabilité qu’il y ait 2 pannes de type quelconque.
3. Calculer $P(Z=3)$. Que peut-on remarquer ?
4. Décrire les variations de $P(Z=k)$ en fonction de $k$.
5. Donner le nombre moyen de pannes et la probabilité qu’il y ait au plus une panne durant cette période.

Corrections exercices 23 et 24

Exercices supplémentaires

Exercice 25 Soient $X$ et $Y$ deux v.a.r. indépendantes vérifiant:

\[P(X=n) = P(Y=n) = \frac{1}{4} (\frac{1+a^n}{n!}) \quad \forall n \in \mathbb{N}\]

Déterminer $a$.
Calculer $E(X)$ et $E(Y)$.
Déterminer la loi de $Z=X+Y$.

Exercice 26 Soit $(X,Z)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$. On pose

\[p_{k,n} = P(X=k,Z=n)= \frac{\lambda^n e^{-\lambda} \alpha^k (1-\alpha)^{n-k}}{k! (n-k)!} \times {1}_{\{0\leq k\leq n\}}\]

Calculer et reconnaitre la loi de $Z$. Donner l’espérance de $Z$.
Calculer et reconnaitre la loi de $X$.
Calculer $P(X=k | Z=n)$ et reconnaitre la loi.
On fait l’hypothèse que $Z$ est le nombre d’enfants d’une famille, $X$ le nombre de garçons et la probabilité qu’un enfant est un garçon est $0.53$. Soit $Y$ le nombre de filles dans la famille. Calculer et reconnaitre la loi de $Y$.
Interpréter les résultats trouvés. Est ce par hasard qu’on reconnait ces lois?

Exercice 27 Un joueur dispose d’un dé et d’une pièce. Le dé est équilibré et la pièce a une probabilité $p$ ($0 < p < 1$) de tomber sur pile. On note $q=1-p$. Le joueur lance d’abord le dé, puis lance la pièce autant de fois que le résultat du dé. Il compte enfin le nombre de piles obtenu au cours des lancers. Les résultats de chaque lancer sont indépendants.

On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la valeur du dé et $Y$ celle correspondant au nombre de piles obtenus à la fin du jeu.

Soit $(i,j) \, \in \, \{1,\ldots,6\} \times \{0,\ldots,6\}$. Que vaut $P(Y=j|X=i)$.
Déterminer la loi du couple $(X,Y)$.
Calculer $P(Y=6)$.
Montrer que \[P(Y=0)= \frac{q}{6} \big(\frac{1-q^6}{1-q}\big)\]

Rappel: $\displaystyle \sum_{i=0}^{n} x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ si $x\neq 1$.

Sachant que l’on a obtenu aucun pile au cours du jeu, quelle était la probabilité que le résultat du dé était $1$? Évaluer cette quantité quand $p=q=\frac{1}{2}$.