6 Couple de variables aléatoires continues
Densité conjointe
Définition 6.1 On dit que \((X,Y)\) est un couple aléatoire continu s’il existe une fonction \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) telle que pour tout \(D \subseteq \mathbb{R}\) on a
\[P\{(X,Y) \in D\} = \iint\limits_{(x,y) \in D} f(x,y) dx dy\]Remarque: On a la condition de normalité \(\iint\limits_{\mathbb{R}^2} f(x,y)dxdy=1\)
La fonction \(f\) s’appelle densité conjointe de \(X\) et \(Y\). Notons par \(A\) et \(B\) deux ensembles de nombres réels. En définissant \(D=\{(x,y) : x \in A, y \in B\}\), on obtient
\[P(X\in A, Y \in B) = \int_A \int_B f(x,y) dxdy\]
La fonction de répartition du \((X,Y)\) est définie par
\[F(a,b)=P(X \le a, Y \le b) = \int_{- \infty}^b \int_{- \infty}^a f(x,y) dx dy\]
\(f\) est le dérivé de \(F\): \(f(a,b)= \frac{\partial^2}{\partial a \partial b} F(a,b)\)
Soit \((X,Y)\) un couple aléatoire continu de densité
\[f(x,y)= \left\lbrace \begin{array}{ll} 2 e^{-x} e^{-2y} & \mbox{si} \quad x > 0, \,\, y > 0\\ 0 & \mbox{sinon} \end{array} \right.\] Montrer que:
\(P(X > 1, Y < 1)=e^{-1}(1-e^{-2})\)
\(P(X < a) = 1-e^{-a}\)
\(P(X < Y ) = 1/3\)
Densités marginales
Si on dispose de la densité du couple, on peut retrouver les densités de \(X\) et de \(Y\), appelées les densités marginales:
Densité marginale de X: \[f(x,.)=f_X(x)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)dy\]
Densité marginale de Y: \[f(.,y)=f_Y(y)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)dx\]
Espérance d’une fonction du couple
Si \((X,Y)\) est un couple continu de densité \(f(x,y)\) et \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) on a
\[E[ g(X,Y)] = \iint\limits_{\mathbb{R}^2} g(x,y) f(x,y)dxdy\]
Indépendance
Les v.a. \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ssi \(\forall \, (x,y) \in \mathbb{R}^2\) on a
\[f(x,y)=f_X(x) f_Y(y)\]
Distribution conditionnelle
Si \((X,Y)\) est un couple continu de densité \(f(x,y)\), on définit densité conditionnelle de \(X\), sous la condition \(Y=y\) et lorsque \(f_Y(y) > 0\) par la relation
\[f_{X|Y} (x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\]
Supposons que \(X\) et \(Y\) aient pour densité conjointe \[f(x,y)= \left\lbrace \begin{array}{ll} \frac{1}{y} e^{- x/y}e^{-y} & \mbox{si} \quad x > 0, \,\, y > 0\\ 0 & \mbox{sinon} \end{array} \right.\]
Déterminer la densité conditionnelle de \(X\) lorsque \(Y=y\).
Calculer \(P(X>1 | Y = y)\)