Feuille d’exercices 1
Combinatoire
Exercice 3.1 On tire simultanément 5 cartes d’un jeu de 52 cartes.
Combien de tirages différents peut-on obtenir?
Combien de tirages peut-on obtenir ? contenant:
5 carreaux ou 5 coeurs;
2 coeurs et 3 piques;
au moins 1 roi;
au plus 1 roi.
Exercice 3.2 On jette un dé équilibré 3 fois de suite, et on s’intéresse au total des points obtenus. De combien de façons peut-on obtenir:
un total égale à 16.
un total égale à 15.
un total au moins égale à 15.
Événements
Exercice 3.3 Soit \(A\),\(B\) et \(C\) trois événements d’un espace probabilisable \((\Omega,\mathcal{A})\). Exprimer en fonction de \(A\),\(B\) et \(C\) et des opérations ensemblistes (réunion, intersection et complémentaire) les événements ci-après:
\(A\) seul (parmi les 3 événements) se produit.
\(A\) et \(C\) se produisent, mais non \(B\).
Les trois événements se produisent.
L’un au moins des 3 événements se produit.
Aucun des trois événements ne se produit.
Deux événements exactement se produisent.
Pas plus de deux événements ne se produisent.
Probabilité
Exercice 3.4 Soit \((\Omega,\mathcal{A},P)\) un espace probabilisé. Soient \(A\),\(B\) et \(C\) trois événements quelconques. On pose : \(E = A \cap \bar{B} \cap \bar{C}\) et \(F = A \cap (B \cup C)\).
Montrer que \(E\) et \(F\) sont incompatibles.
Montrer que \(E \cup F = A\).
Sachant que \(P(A)=0.6; \, P(A\cap B)=0.2; \, P(A\cap C)=0.1\) et \(P(A\cap B \cap C)=0.05\): Calculer \(P(F)\) et \(P(E)\).
Variables aléatoires discrètes
Exercice 3.5 On choisit deux boules au hasard dans une urne contenant 8 boules blanches, 4 boules noires et 2 boules oranges. Supposons que l’on reçoive 2 euros pour chaque boule noire tirée et que l’on perde 1 euro pour chaque boule blanche tirée. Désignons les gains nets par X.
Quelles sont les valeurs possibles pour X et les probabilités associées à ces valeurs ?
Quelle est l’espérance de X ?
Exercice 3.6 Une urne contient une boule qui porte le numéro 0, deux qui portent le numéro 1 et quatre qui portent le numéro 3. On extrait simultanément deux boules dans cette urne.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) qui représente la somme des nombres obtenus.
Déterminer la fonction de répartition de \(X\).
Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
Exercice 3.7 Soit \(X\) une v.a. qui suit la loi uniforme (e.g. équiprobabilité de valeurs de \(X\)) sur l’ensemble \(X(\Omega) = \{-3, -2, 1, 4\}\).
Donner la loi de \(X\).
Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
On définit la variable aléatoire \(Y=(X+1)^2\).
Donner \(Y(\Omega)\) et la loi de \(Y\).
Calculer \(E(Y)\) de deux façons différents.
Exercice 3.8 Soient X et Y des variables aléatoires discrètes dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant:
| \(X\)\\(Y\) | -1 | 0 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.10 | 0.05 | 0.15 | 0.05 |
| 1 | 0.15 | 0.20 | 0.25 | 0.05 |
Quelle est la loi marginale de X ?
Quelle est la loi marginale de Y ?
Calculer \(P(Y \geq 0 / X = 1)\).
Calculer \(E(X)\), \(E(Y)\), et \(cov(X,Y)\).
Les variables \(X\) et \(Y\) sont elles indépendantes ?
Exercice 3.9 Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}^2\) tel que
\[\forall (p,q) \in \mathbb{N}^2, \quad P(X=p,Y=q) = \lambda \frac{p+q}{p! q! 2^{p+q}}\]
Déterminer \(\lambda\).
Calculer les lois marginales.
Les variables \(X\) et \(Y\) sont elles indépendantes ?
Exercice 3.10 Une urne contient 2 boules de numéro 20, 4 boules de numéro 10 et 4 boules de numéro 5.
Une épreuve consiste à tirer simultanément 3 boules de l’urne. Calculer la probabilité \(p\) que la somme des numéros tirés soit égale à 30.
On répéte cette épreuve 4 fois en remettant à chaque fois les trois boules tirés dans l’urne. Soit \(X\) la v.a. indiquant le nombre de tirages donnant une somme de numéros égale à 30.
Quelle la loi de \(X\). Donner son espérance et son écart-type.
Déterminer la probabilité d’avoir au moins une fois la somme 30 dans les 4 tirages.
Exercice 3.11 Vous avez besoin d’une personne pour vous aider à déménager. Quand vous téléphonez à un ami, il y a une chance sur quatre qu’il accepte. Soit \(X\) la variable aléatoire qui représente le nombre d’amis que vous devrez contacter pour obtenir cette aide.
Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
Calculer \(P(X\leq 3)\).
Calculer \(E(X)\).
Exercice 3.12 Pour être sélectionné aux jeux olympiques, un athlète doit réussir deux fois à dépasser les minima fixés par sa fédération. Il a une chance sur trois de réussir à chaque épreuve à laquelle il participe. On note \(X\) la variable aléatoire qui représente le nombre d’épreuves auxquelles il devra participer pour être sélectionné.
Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
Si cet athlète ne peut participer qu’à quatre épreuves maximum, quelle est la probabilité qu’il soit sélectionné ?
Exercice 3.13 Un sac contient cinq jetons : deux sont numérotés 1 et les trois autres sont numérotés 2. On effectue une série illimitée de tirages avec remise d’un jeton dans le sac S. On désigne par \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués avant le tirage amenant un jeton numéroté 1 pour la première fois.
Justifier que la variable aléatoire \(Z=Y+1\) suit une loi usuelle que l’on précisera.
En déduire la loi de probabilité de \(Y\).
Préciser l’espérance mathématique et la variance de \(Z\).
En déduire l’espérance mathématique et la variance de \(Y\).
Exercice 3.14 Le nombre de pannes d’électricité qui se produisent dans une certaine région au cours d’une période d’un an suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda=3\).
Calculer la probabilité qu’au cours d’une période d’un an il y a exactement une panne qui se produit.
En supposant l’indépendance des pannes d’une année à l’autre, calculer la probabilité qu’au cours des dix prochaines années il y ait au moins une année pendant laquelle il se produira exactement une panne.
Exercice 3.15 Un poste de radio a 2 types de pannes: transistor ou condensateur. Durant la première année d’utilisation, on désigne par:
\(X=\) nombre de pannes dues à une défaillance de transistor.
\(Y=\) nombre de pannes dues à une défaillance de condensateur.
On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des v.a. indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectives \(\lambda=2\) et \(\mu=1\).
Calculer la probabilité qu’il y ait 2 pannes dues à une défaillance de transistor.
Calculer la probabilité qu’il y ait au moins une panne due à une défaillance de condensateur.
Quelle est la loi du nombre \(Z=X+Y\) de pannes durant la première année ?
Déterminer la probabilité qu’il y ait 2 pannes de type quelconque.
Calculer \(P(Z=3)\). Que peut-on remarquer ?
Décrire les variations de \(P(Z=k)\) en fonction de \(k\).
Donner le nombre moyen de pannes et la probabilité qu’il y ait au plus une panne durant cette période.
Exercices supplémentaires
Exercice 3.16 Soient \(X\) et \(Y\) deux v.a.r. indépendantes vérifiant:
\[ P(X=n) = P(Y=n) = \frac{1}{4} (\frac{1+a^n}{n!}) \quad \forall n \in \mathbb{N}\]
- Déterminer \(a\).
- Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).
- Déterminer la loi de \(Z=X+Y\).
Exercice 3.17 Soit \((X,Z)\) un couple de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}\). On pose
\[ p_{k,n} = P(X=k,Z=n)= \frac{\lambda^n e^{-\lambda} \alpha^k (1-\alpha)^{n-k}}{k! (n-k)!} \times {1}_{\{0\leq k\leq n\}}\]
- Calculer et reconnaitre la loi de \(Z\). Donner l’espérance de \(Z\).
- Calculer et reconnaitre la loi de \(X\).
- Calculer \(P(X=k | Z=n)\) et reconnaitre la loi.
- On fait l’hypothèse que \(Z\) est le nombre d’enfants d’une famille, \(X\) le nombre de garçons et la probabilité qu’un enfant est un garçon est \(0.53\). Soit \(Y\) le nombre de filles dans la famille. Calculer et reconnaitre la loi de \(Y\).
- Interpréter les résultats trouvés. Est ce par hasard qu’on reconnait ces lois?
Exercice 3.18 Un joueur dispose d’un dé et d’une pièce. Le dé est équilibré et la pièce a une probabilité \(p\) (\(0 < p < 1\)) de tomber sur pile. On note \(q=1-p\). Le joueur lance d’abord le dé, puis lance la pièce autant de fois que le résultat du dé. Il compte enfin le nombre de piles obtenu au cours des lancers. Les résultats de chaque lancer sont indépendants.
On note \(X\) la variable aléatoire correspondant à la valeur du dé et \(Y\) celle correspondant au nombre de piles obtenus à la fin du jeu.
- Soit \((i,j) \, \in \, \{1,\ldots,6\} \times \{0,\ldots,6\}\). Que vaut \(P(Y=j|X=i)\).
- Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).
- Calculer \(P(Y=6)\).
- Montrer que \[P(Y=0)= \frac{q}{6} \big(\frac{1-q^6}{1-q}\big)\] Rappel: \(\sum_{i=0}^{n} x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\) si \(x\neq 1\).
- Sachant que l’on a obtenu aucun pile au cours du jeu, quelle était la probabilité que le résultat du dé était 1? Évaluer cette quantité quand \(p=q=\frac{1}{2}\).