Feuille d’exercices 2
Variables alétoires continues
Exercice 6.1 Soit \(X\) une v.a.c. de densité \(f\) définie par: \(f(x) = k x \times {1}_{]0,2[} (x)\).
Déterminer la constante \(k\).
Calculer \(E(X)\) et \(E(X^2)\).
On pose \(Z=X^2\). Déterminer la densité de \(Z\). Calculer \(E(Z)\).
Exercice 6.2 Soit \(X\) une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par:
\[f(x)= \left\lbrace \begin{array}{ll} c(1-x^2) & \mbox{si} \quad -1<x<1\\ 0 & \mbox{sinon} \end{array} \right.\]
Quelle est la valeur de \(c\)?
Quelle est la fonction de répartition de \(X\)?
Exercice 6.3 Soit \(X\) une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est donnée par: \[f(x)= \left\lbrace \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si} \quad |x| > k > 0\\ x+1 & \mbox{si} \quad |x| \le k \end{array} \right.\]
Déterminer \(k\).
Calculer \(E(X)\) et \(E(X^2)\).
Déterminer la fonction de répartition de \(X\).
Soit \(Y=X^2\). Déterminer la fonction de répartition ainsi que la fonction de densité de \(Y\).
Calculer \(E(Y)\).
Exercice 6.4 (Variable aléatoire de densité paire) Soit \(X\) une variable aléatoire réelle admettant une fonction paire \(f\) pour densité.
Calculer \(P(X \le 0)\) et \(P(X\ge 0)\).
Montrer que la fonction de répartition \(F\) de \(X\) vérifie: \(\forall \, x \in \mathbb{R}, F(x)=1-F(-x)\).
On admet que \(X\) admet une espérance, calculer \(E(X)\).
Donner un exemple de densité paire.
Table de la loi Normale Centrée Réduite
Exercice 6.5 On note \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Soit \(X\) une v.a. qui suit une loi normale centrée réduite, i.e. \(X \thicksim \mathcal{N}(0,1)\). A l’aide de la table de la loi normale, calculer: \(P(X>2), P(-1<X<1.5)\) et \(P(X<0.5)\).
Soit \(Y\) une v.a. qui suite une loi normale: \(Y \thicksim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)=\mathcal{N}(4,16)\). Calculer: \(P(Y>2), P(-1<Y<1.5)\) et \(P(Y<0.5)\).
Soit \(U \thicksim \mathcal{N}(6,4)\). Calculer: \(P(|U-4|<3)\) et \(P( U>6 | U > 3)\).
Exercice 6.8 (Loi uniforme et loi exponentielle) Soit \(U\) une v.a.c de loi unifrorme sur \([0,1]\). Montrer que la v.a. \(X= - \ln U\) suit une loi exponentielle.
Exercice 6.9 (La loi exponentielle est sans mémoire) On suppose que la durée de vie \(D\), en jours, d’une ampoule, est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre \(\frac{1}{100}\).
Quelle est la durée de vie moyenne d’une ampoule?
Calculer la fonction de répartition de \(D\). En déduire l’expression de \(P(D > x)\).
On dit qu’une variable aléatoire est sans mémoire si \(\forall \, l > 0 \quad P(X \ge n+l|X \ge n)=P(X \ge l)\). Montrer que \(D\) est sans mémoire.
Quelle est la probabilité qu’une ampoule dure encore au moins 10 jours, sachant qu’à son \(n^\text{e}\) jour, elle marche encore?
Exercice 6.10 (Lois des v.a.r. min(X,Y) et max(X,Y)) Soit \(X\) et \(Y\) deux v.a.c de densités respectives \(f_X\) et \(f_Y\) et de
fonctions de répartition respectives \(F_X\) et \(F_Y\). On suppose que \(X\)
et \(Y\) sont indépendantes. On pose:
\[Z = max(X,Y) \quad \quad \text{et} \quad \quad T=min(X,Y)\]
Exprimer les fonctions de répartition de \(Z\) et \(T\) à l’aide des fonctions de répartition \(F_X\) et \(F_Y\).
Exprimer une densité de \(Z\) et une densité de \(T\) à l’aide de \(f_X, f_Y, F_X\) et \(F_Y\).
Exercice 6.11 (Minimum et Maximum de deux lois exponentielles) Soit \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle de paramètres \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\). On pose \(X = min(X_1,X_2)\).
Montrer que \(X\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda_1 + \lambda_2\).
Deux guichets sont ouverts à une banque. Le temps de service au premier guichet (resp. au deuxième) suit une loi exponentielle de moyenne 20 min (resp. 30 min). Deux client rentrent simultanément, l’un choisit le guicher 1 et l’autre le guichet 2.
En moyenne, après combien de temps sort le premier?
En moyenne, après combien de temps sort le dernier?
Exercice 6.12 (Fonction Gamma (Euler)) La fonction Gamma est définie sur \(\mathbb{R}_{+}^*\) par:
\[\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt\]
Montrer que \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\), \(\forall \, x >0\).
Exprimer \(\Gamma(x+n)\) en fonction de \(\Gamma(x)\) pour \(n\in \mathbb{N}\).
Calculer \(\Gamma(1)\). En déduire \(\Gamma(n+1)\) pour \(n\in \mathbb{N}\).
En utilisant le changement de variable \(t=u^2\), montrer qu’on a: \[\Gamma(x)=2 \int_0^{+\infty} u^{2x-1}e^{-u^2} du\]
On suppose que: \[\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\] Calculer alor \(\Gamma(\frac{1}{2})\).
Montrer que \(\Gamma(n+\frac{1}{2})=(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})\ldots (\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})\)
En déduire la valeur de \(\Gamma(n+\frac{1}{2})\).
Exercice 6.13 (Loi Gamma) Pour \(a>0\) et \(\lambda>0\), deux constantes réelles, on définit la fonction \(f_{a,\lambda}\) sur \(\mathbb{R}\) par: \[\forall \, x \in \mathbb{R}, \quad f_{a,\lambda} (x)= \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} x^{a-1} e^{-\lambda x} \times {1}_{\mathbb{R}_{+}}(x)\]
Montrer que \(f_{a,\lambda}\) est bien une densité d’une v.a. \(X\).
Calculer \(E(X)\).
Couple de variables aléatoires continues
Exercice 6.14 Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires dont la densité jointe est définie par: \[f(x,y)= \left\lbrace \begin{array}{ll} \alpha x e^{-y} & \mbox{si} \quad x \in [0,1], y \in \mathbb{R}_{+} \\ 0 & \mbox{sinon} \end{array} \right.\]
Déterminer \(\alpha\) pour que \(f(x,y)\) soit une fonction de densité.
Déterminer les densités marginales de \(X\) et \(Y\).
\(X\) et \(Y\) sont elles indépendantes?
Exercice 6.15 Soit \((X,Y)\) un vecteur aléatoire uniformément distribué dans l’ensemble \[D= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, x\in [0,2] \, \text{et} \, y \in [0,4]\}\]
Déterminer la densité jointe du couple de variables aléatoires \((X,Y)\).
Calculer \(P(X \le 1, Y\le 2)\).
Déterminer les densités marginales de \(X\) et \(Y\). Les v.a. \(X\) et \(Y\) sont elles indépendantes?
Exercices supplémentaires
Exercice 6.16 Exprimer les intégrales suivantes à l’aide de la fonction de répartition \(\Phi\) de la loi normale centrée réduite, puis en calculer des valeurs approchées à \(10^{-4}\) près:
- \(A=\int_0^1 e^{-\frac{x^2}{2}} dx\)
- \(B=\int_0^2 e^{-2x^2+4x-2} dx\)
Exercice 6.17 Loi de Laplace
Soit \(c > 0\), une constante réelle. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par:
\[ \forall \, x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{c}{2} e^{- c |x|}\]
- Montrer que \(f\) est une densité.
- Déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X\).
- On admet que \(X\) admet une espérance. Calculer \(E(X)\).
- Déterminer la loi de \(Y=|X|\).
Exercice 6.18 Soit \(f\) la fonction suivante, avec \(\lambda > 0\)
\[ f(x,y)= \left\lbrace \begin{array}{ll} C e^{-\lambda x} & \mbox{si} \quad x \geq 0 \quad \text{et} \quad |y| \leq x \\ 0 & \mbox{sinon} \end{array} \right. \]s
- A quelles conditions \(f\) est elle la densité d’un couple de variable aléatoires réelles \((X,Y)\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^2\)?
- Calculer \(C\) en fonction de \(\lambda\).
- Déterminer les lois marginales de \(X\) et \(Y\). (Indication: Vous remarquerez que \(Y\) suit la loi de Laplace)
- Calculer les espérances mathématiques de \(X\) et \(Y\).
Exercice 6.19 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur l’intervalle \([0 , 2]\) de \(\mathbb{R}\).
- Quelle est la loi de probabilité de \(S = X + Y\)?
- Calculez \(E(S)\) et \(V(S)\).
- Quelle est la loi de probabilité de \(Z = X Y\)?
- Calculez \(E(Z)\) et \(V(Z)\).