Exercices

Exercice 5.1 Une entreprise commercialise des pieds de lit de type boule. Pour ces pieds on utilise une bague en matière plastique de diamètre intérieur \(x\). On définit ainsi une variable aléatoire \(X\) qui à chaque bague tirée au hasard dans la production, associe son diamètre intérieur \(x\) mesuré en millimètres. On admet que \(X\) suit la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(0.04\). Le fournisseur affirme que \(\mu=12.1 \, mm\).

On a un doute sur cette affirmation. On prélève un échantillon de \(64\) pièces dans la livraison. Le diamètre intérieur moyen sur cet échantillon est de \(12.095\, mm\). Que conclure au seuil de signification de \(10\%\) quant au diamètre intérieur moyen des bagues?

Exercice 5.2 Une usine fabrique des câbles. Un câble est considéré “conforme” si sa résistance à la rupture est supérieure à \(3\) tonnes. L’ingénieur responsable de la production voudrait connaître, en moyenne, la résistance à la rupture des câbles fabriqués.

Il n’est, bien sûr, pas question de faire le test de rupture sur toute la production (l’usine perdrait toute sa production!). Notons \(X\) la variable aléatoire correspondant à la force à exercer sur le câble pour le rompre (en tonnes). Pour cette question, on supposera que \(X \thicksim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) et que la valeur de \(\sigma\) est ici connue et égale à \(0.38\).

Un technicien prélève donc un échantillon de \(100\) câbles dans la production. Avec les données de l’échantillon, le technicien obtient les résultats suivants : la résistance moyenne à la rupture des \(100\) câbles de l’échantillon est de \(3.5\) tonnes.

  1. Décrire l’expérience aléatoire, la population, la probabilité utilisée sur l’espace probabilisable et la variable aléatoire étudiée.
  2. Que représente le paramètre \(\mu\)? Donner un estimateur puis une estimation de \(\mu\).
  3. Peut-on dire, avec un risque d’erreur de \(2.5\%\) que la résistance moyenne à la rupture de l’ensemble des câbles de la production est strictement supérieure à \(3\) tonnes?

2ème partie

La proportion de câbles dont la résistance est supérieure à \(3\) tonnes dans cet échantillon est de \(0.85\).

  1. Décrire la nouvelle variable aléatoire étudiée \(Y\). Quelle est sa loi?
  2. Donner une estimation ponctuelle de la proportion \(p\) de câbles conformes dans la production.
  3. Peut-on dire, avec un risque d’erreur de \(5\%\) que la proportion \(p\) de câbles conformes dans la production est strictement supérieure à \(0.80\)?

Exercice 5.3 On utilise une nouvelle variété de pommes de terre dans une exploitation agricole. Le rendement moyen de l’ancienne variété était de \(41.5\) tonnes à l’hectare. La nouvelle variété est cultivée sur \(100\) hectares, avec un rendement moyen de \(45\) tonnes à l’hectare et un écart-type (échantillonnal) de \(11.25\).

  1. Faut-il, avec un risque d’erreur de \(1\%\), favoriser la culture de la nouvelle variété?
  2. Calculer la puissance du test précédent si le “vrai” rendement moyen de la nouvelle variété est supposée égal à \(44\) tonnes. Calculez le risque d’erreur de deuxième espèce. Interpréter.

Exercice 5.4 Un article dans le journal Growth14 a rapporté les résultats d’une étude qui a mesuré le poids (en grammes) pour les cobayes à la naissance:

421 494.6 110.7 102.4 317 447.8 879 273 279.3
452.6 373.8 96.4 241 290.9 687.6 88.8 268 258.5
456.1 90.5 81.7 296 256.5 705.7 296 227.5 296
  1. Tester l’hypothèse que le poids moyen est \(300\) grammes avec niveau de confiance \(95\%\).
  2. Expliquer comment répondre à la question précédente avec un IC bilatéral pour le poids moyen.

Exercice 5.5 Un article dans un journal d’agriculture15 a déterminé que la composition en acides aminés essentiels (Lysine) des repas de soja sont comme indiqué ici (g/kg):

22.2 24.7 20.9 26 27 24.8 26.5 23.8 25.6 23.9
  1. Peut-on dire, à risque \(1\%\) que la variance de la quantité de Lysine est égale à \(1\)?
  2. Confirmer le résultat du test avec un IC bilatéral pour cette variance.

  1. Article intitulé “Comparison of Measured and Estimated Fat-Free Weight, Fat, Potassium and Nitrogen of Growing Guinea Pigs”↩︎

  2. Article intitulé “Non-Starch Polysaccharides and Broiler Performance on Diets Containing Soyabean Meal as the Sole Protein Concentrate” dans le journal “Australian Journal of Agricultural Research”↩︎