TP illustration numérique des théorèmes limites avec R

Réalisations de variables aléatoires

Pour générer (simuler) des réalisations de variables aléatoires on utilise la fonction qui commence par la lettre r (pour random) succédée par le nom de la loi que l’on souhaite simuler. Par exemple rnorm pour simuler des réalisations de la variable alétoire de loi normale. Tapez ?rnorm pour voir la liste des paramètres (arguments) de cette fonction.

rnorm(10) # génére 10 réalisations alétoires de la loi normale centrée réduite.
#ans>  [1] 1.7111 0.1184 0.2113 0.8255 0.4184 1.8033 0.3251 0.3784 0.0252 0.0345
rnorm(10, mean = 1, sd = 3) # génére 10 réalisations alétoires de la loi normale d'espérance 1 et écart-type 3
#ans>  [1]  4.7308  5.9451 -3.1275  0.5337 -3.8268  3.9036  1.9544  0.0549 -0.6323
#ans> [10]  4.6497

1. Simuler un vecteur de 1000 réalisations indépendantes de loi uniforme sur l’intervalle \([0,1]\). Simuler ensuite 1000 réalisations de la loi exponentielle de paramètre 2.

Extra: Afin de vérifier les simulations on peut afficher l’histogramme des réalisations et superposer avec la densité de la loi correspondante.

Fonction de densité

Pour calculer la densité d’une certaine loi, il suffit d’utiliser comme fonction le nom de la loi dans avec le préfixe d pour une densité. Taper ?dnorm pour comprendre le fonctionnement de cette commande.

2. Que vaut la densité de la loi normale centrée réduite en 0? Essayer la même chose pour la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0.5\).

Cette commande permet de tracer facilement des fonctions de densité.

3. Que se passe-t-il si l’on demande la fonction de densité de la loi binomiale en 0.3? Pourquoi?

4. Tracer la fonction de densité de la loi normale centrée réduite. Commencer par créer un vecteur d’abscisses à l’aide de la fonction seq(). Tracer ensuite la fonction de densité en ces points.

Il existe plusieurs paramètres réglables pour avoir des courbes de différents design.

5. Tracer un histogramme d’un vecteur de 10000 réalisations indépendantes d’une loi normale centrée réduite. Superposer l’histogramme avec la densité réelle de cette loi.

Fonction de répartition

Pour calculer la fonction de répartition d’une certaine loi on utilise le nom de la loi dans avec le préfixe p.

6. Que vaut la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite en 0?

7. Tracer la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

On peut également tracer des fonctions de répartitions empiriques (calculées sur un échantillon).

8. Créer un vecteur de 100 réalisations indépendantes de la loi de votre choix. Utiliser la fonction ecdf() pour construire la fonction de répartition empirique de votre vecteur. Puis superposer avec la fonction de répartition théorique.

Illustrations de théorèmes limites

Loi forte de grands nombres

On considère une variable \(X\) à valeurs dans \(\{0,1,3\}\), distribuée comme suit: \(P(X=0)=0.5, P(X=1)=0.25, P(X=3)=0.25\).

9. Proposer une façon de simuler \(X\). (Suggestion: utiliser la fonction sample()).

10. On considère \(X_1,X_2,\ldots\) une suite infinie de variables indépendantes de même loi que \(X\). Soit \(\overline{X}_n\) la moyenne empirique des \(X_i\) pour \(i \in \{1,\ldots,n\}\).

10.1 Simuler la suite des \(X_i\) pour \(i \in \{1,\ldots,10000\}\).

10.2 Produire un graphique représentant l’évolution de \(\overline{X}_n\) pour \(n\) variant de 1 à 10000. (Indication: penser à utiliser la fonction cumsum()).

10.3 Que constate-on? Pouvait-on s’y attendre?

Théorème central limite

On désire maintenant approfondir comment \(\overline{X}_{500}\) varie autour de sa valeur moyenne.

11. Proposer une transformation affine de \(\overline{X}_{500}\), de la forme \(Y=a \times (\overline{X}_{500} + b)\), qui suive approximativement la loi \(\mathcal{N}(0,1)\).

11.1 Simuler avec \(10000\) réalisations indépendantes de la variable \(Y\). Nous les noterons \(Y_1, \ldots, Y_{10000}\).

11.2 Confirmer l’approximation gaussienne en réalisant un histogramme des valeurs prises par les \(Y_j\) pour \(j \in \{1,\ldots,10000\}\), sans oublier de tracer la densité gaussienne correctement renormalisée. Commenter l’écart entre l’histogramme et la densité gaussienne.

Bonus

Illustration du théorème de Moivre Laplace

Pour \((n=10, p=0.5),\) puis \((n=50, p=0.9),\) puis \((n=100, p=0.1)\) Simuler un échantillon \(X\) de la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p .\) Calculer l’échantillon centré-réduit \(Xcr=\frac{x-n p}{\sqrt{n p(1-p)}}\). Représenter un histogramme des valeurs de \(X c r .\) Superposer sur le même graphique la densité de la loi normale \(\mathcal{N}(0,1) .\) Représenter la fonction de répartition empirique de \(X c r .\) Superposer sur le même graphique la fonction de répartition de la loi normale \(N(0,1)\).